Открытия математиков обычно не так ярки и наглядны, как, скажем, у биологов. Вся работа - на бумаге или просто в уме. Но, может быть, оттого-то оно всегда и воспринимается как чудо, искра божия. В связи с этим "Неделя" произвела ревизию великих и неразрешимых математических задач.
Далее...



Профессор Даррен Кроуди задремал во время лекции по динамическим завихрениям и... неожиданно нашел универсальное решение теоремы Шварца-Кристоффеля, над которой бились аж 140 лет. Рассеянность принесла ученому славу: его открытие уже назвали прорывом в современной математике.

Теорема Шварца-Кристоффеля: щелчок сквозь дрему

Герой: Даррен Кроуди, Империал колледж, Великобритания.

Цитата: "В этой жизни много неопределенностей, но одна из ее определенностей - математика. Мы можем радоваться уверенности, что результат будет настоящим".

Загвоздка: Теорема Шварца-Кристоффеля оставалась без доказательства 140 лет. До сих пор формула частично использовалась, но не могла применяться к объектам неоднородной структуры или содержащим отверстия.

Область применения: Теорема применяется достаточно широко в проектировании различных объектов - например, в аэронавтике для моделирования движения воздуха около крыльев сложной формы. Теорема помогает объяснить и формы, созданные природой, например, рисунок распространения бактерий.

"Эта формула входит в математический набор, который используется во всем мире, - объяснил Кроуди журналу Time. - Теперь, с моими дополнениями, она может применяться в более сложных случаях. В промышленности, например, раньше ее не могли использовать, если часть металла или другого материала была неоднородна. Скажем, имела отверстия. Теперь можно принять во внимание эти различия".

Суть: отображение сложных фигур в более простом виде на внутренность произвольного многоугольника.

Судьба героя: "Я слушал лекцию в Париже, когда это внезапно пришло мне в голову. Как щелчок. Я встал и вышел из помещения. Я был так взволнован, мне не терпелось начать работу над формулой здесь и сейчас". Кроуди понял, что с применением другой математической техники - группы Шоттки, с которой он работал до этого, формулу можно исправить и применить к объектам любой формы.

Открытие Кроуди опубликовал журнал "Математические известия Кембриджского философского общества": "Сейчас намного больше людей приходит на мои семинары. Увы, математики не освещают свои работы широко, как медики и инженеры. И для того чтобы люди смогли использовать мою формулу, надо рассказывать о ней, что подразумевает очень плотный график путешествий".


Теорема о раскраске дорог: удача пожилого сторожа

Герой: Авраам Трахтман, университет Бар-Илан, Израиль.

Цитата: "Некоторые считают, что решения должны быть запутанными. Я полагаю, что они должны быть красивыми и простыми".

Загвоздка: Теорема о раскраске дорог была изложена в 1970-м Бенджамином Вейссом, израильским-американским математиком, и коллегой, Роем Адлером. В течение восьми лет, Веисс пробовал доказать свою теорию. За следующие 30 лет приблизительно 100 других ученых предпринимали подобную попытку, но безуспешно.

Область применения: задача достаточно сложна и может применяться в теории графов и теории конечных автоматов. Граф - это множество вершин и ребер, соединяющих некоторые (возможно, и все) пары вершин. При этом пары вершин могут соединяться несколькими ребрами. Пример графа: множество городов (вершины графа), например Московской области, и соединяющие их дороги (ребра графа).

Суть теоремы: Популярное изложение теоремы напоминает квест: путешественник находится в лабиринте, от каждого перекрестка можно пойти по n-му числу дорог, а каждая дорога окрашена в один из n возможных цветов. Предположим, существует голос с неба, который мог бы указать путнику последовательность цветов, по которым стоит идти, чтобы достичь цели, но голос не знает исходной точки, где находится путник. Задача состоит в том, чтобы определить, для каких типов лабиринтов возможна такая последовательность цветов, которая приведет путешественника к цели, независимо от того, на каком перекрестке он начинает путь.

Судьба героя . Трахтман эмигрировал в Израиль из Свердловска в начале 90-х. Поначалу ему приходилось работать чернорабочим и сторожем, а прорыв в математике он совершил в 63 года. И теперь Трахтман преподает математику в университете Бар-Илан... Решение Трахтмана, написанное карандашом на восьми страницах, будет опубликовано в Israel Journal of Mathematics. Бенджамин Вейсс, создатель теоремы, сказал, что был очень рад узнать о долгожданном решении своей задачи, признав, что решение профессора Трахтмана "по своему характеру постижимо".


Гипотеза Пуанкаре: герой избегает награды

Герой: Григорий Перельман, Институт математики им. Стеклова.

Цитата: "Всем понятно, что если доказательство верно, то никакого другого признания заслуг не требуется".

Загвоздка: Гипотеза Пуанкаре оставалась недоказанной около ста лет и в конце концов была признана "одной из семи задач тысячелетия", за которую американский частный Математический институт Клэя был готов заплатить 1$ млн.

Область применения : гипотеза касается геометрии многомерных пространств и, следовательно, формы Вселенной, так как, по одной из современных теорий, это ограниченное трехмерное пространство.

Суть теоремы: Гипотеза утверждает, что всякое односвязное (т.е. упрощенно - замкнутое и без дыр) трехмерное пространство, обладающее некоторыми свойствами трехмерной сферы, должно быть сферой с точностью до деформации. Если яблоко обмотать лентой, а затем сжать, яблоко "схлопнется" в точку. Проделать то же с бубликом нельзя - его поверхность не односвязна.

Судьба героя: Ученый поместил рукописи в открытом онлайн-архиве исследований по математике и физике, никак не пытаясь "продвинуть" свое открытие. Пока ученые спорили за честь дополнить и прокомментировать его работу, Перельман жил обычной жизнью в Ленинградской области, не интересуясь шумом вокруг открытия.

В 2006 году, когда доказательство признали верным, Перельману присудили Филдсовскую премию - аналог Нобелевской для математиков (правда, денежный эквивалент ее - всего около $13 400). И хотя Перельман от премии отказался, сотрудники института Клэя также не теряют надежды выйти на связь с загадочным отшельником с аутистскими наклонностями, напоминающими героя "Игр разума".

В России Перельман не получил ни одной награды (как и официальных поздравлений) и даже не повысился в научном звании. С декабря 2005-го Перельман ушел из института, жил вместе с матерью на ее пенсию. Его коллега Александр Абрамов, академик РАО, утверждает, что ушел не по своей воле - тут было и недопонимание, и отсутствие такта в наших научных кругах. И вышло так, что в нашей стране судьба человека, попавшего в список ста ныне живущих гениев (по версии The Daily Telegraph), кроме СМИ, не особо кого-то и интересует.


Великая теорема Ферма: до сих пор заманчива

Герой: Главный герой - Эндрю Уайлс, Принстонский университет, США. Последователи в нашей стране - Александр Курилов, Александр Ильин, Сергей Газарян.

Цитата: "Математики не удовлетворяются отсутствием решений в пределах четырех миллионов или биллионов - они действительно хотят знать, существуют ли решения в пределах бесконечности" (Эндрю Уайлс).

Загвоздка: Теорема Ферма может быть сформулирована даже для школьника, но кажущаяся простота обманчива. Были найдены решения для частных случаев, но не общее доказательство.

Область применения: Теорема применяется в фундаментальных разделах теории чисел, в теории кодирования, что делает ее полезной в актуальной для нашего времени области электроники.

Суть теоремы: Теорема утверждает, что для любого натурального n > 2 уравнение an + bn = cn не имеет натуральных решений a, b и c. Была сформулирована в 1637 году. Сам Ферма нашел доказательство для частного случая n=4, позже теорема была доказана для n = 3 (Эйлер) и n=5 (Дирихле и Лежандр). Но общее доказательство казалось неразрешимым.

Судьба героев: Среди множества желающих доказать Великую теорему были и авантюристы-любители, и серьезные математики. В 1994 году теорему доказал Эндрю Уайлс, профессор Принстонского университета, посвятивший этой работе семь лет. Год ушел на проверку его работы, аргументацию признали верной, и в 1997 году Уайлсу вручили Филдсовскую премию.

Но на этом история теоремы не закончилась, то и дело всплывает очередная сенсация. Физик-теоретик из Подмосковья Александр Курилов потратил два года на то, чтобы найти новое доказательство теоремы, опираясь на легенду о том, что Ферма сам нашел правильное решение, но не успел его адекватно записать. Работа Курилова занимает не 200 страниц, как у Уайлса, а всего восемь листочков. Как говорит профессор МГУ Богданов, особого влияния как на науку, так и на судьбу самого Курилова она не оказала: он вернулся к своей прежней специальности -- физике.

В 2005 году омский ученый доктор технических наук Александр Ильин попытался убедить своим решением Российскую академию наук. Но, по словам ученого секретаря отделения матнаук РАН Юрия Вишнякова, "его доказательство содержало ошибку, на которую ему было указано"... Имеют ли смысл такие вторичные доказательства? Андрей Лундин, доктор физико-математических наук ИХФ им. Семенова, сомневается: "Это бессмысленные варианты, теорема уже была доказана. И сам тип доказательства особого значения не имеет".


Какие еще задачи осталось решить?

Математический институт Клэя 24 мая 2000 года пообещал миллион долларов за решение одной из семи "задач тысячелетия". Одна из них - гипотеза Пуанкаре - решена Григорием Перельманом. Остальные ждут своего решения.

* Гипотеза Римана

Сформулирована в 1859 году и связана с распределением простых чисел. Риман полагал, что можно определить их количество и закономерность их распределения. Доказательство этой гипотезы имеет большое значение для криптографии.

* Равенство классов P и NP (Проблема Кука)

Вопрос заключается в том, существуют ли задачи, проверка правильности решения которых может быть более длительной, чем само решение. Проблема важна для криптографии и теории алгоритмов.

* Гипотеза Ходжа

Исследовать форму сложного объекта можно, используя вместо него простые "кирпичики", которые составляют его подобие. Гипотеза касается свойств этих "кирпичиков".

* Теория Янга-Миллса

Задача из области физики элементарных частиц. Есть гипотеза, что если элементарная частица обладает массой, то существует и ее нижний предел.

* Уравнения Навье-Стокса

Система уравнений, описывающих движение вязкой жидкости. Одна из важнейших задач гидродинамики.

* Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера

Гипотеза связана с уравнениями эллиптических кривых и множеством их рациональных решений.

"Я все-таки собрал этот пазл"


Профессор Даррен Кроуди ответил на вопросы "Недели"

Даррен Кроудивопрос: Долго ли вы бились над решением теоремы или это было моментальное озарение?

ответ: Я держал в уме проблемы классической формулы Шварца-Кристоффеля много лет. Но тем не менее только сейчас догадался, как ее обобщить. Как при составлении пазла, в течение многих лет мне пришлось кусочек за кусочком собирать головоломку.

Я смог совершить открытие потому, что основная сфера моих научных интересов - изучение многосвязных областей определения: так математики называют области/формы с отверстиями. В моем исследовании как раз и решен ряд проблем, включающих в себя многосвязные области. Теорема Шварца-Кристоффеля - лишь одна из них, но, возможно, самая главная.

в: Как практически может применяться теорема Шварца-Кристоффеля?

о: Теорема Шварца-Кристоффеля - очень многогранный математический инструмент. Она позволяет ученым и инженерам, которым приходится решать проблемы сложных геометрических форм, упростить эти формы. Подсчеты, которые им необходимо сделать, также упростились. В течение последних 140 лет формула бесчисленное количество раз использовалась в аэронавтике (дизайн крыльев), изучении сопротивления материалов (подсчет давления на вещество), электроинженерии (подсчет сопротивления смешанных материалов) и т.д.

в: Открытие повлияло как-то на вашу профессиональную и личную жизнь?

о: Главное, что решение проблемы привлекло много внимания. Это великолепно, поскольку означает внимание людей и к другим моим работам.

в: Какова была реакция ваших студентов?

о: Студенты в восторге - как же, об одном из их профессоров пишут в газетах и говорят по радио! Зато мне теперь проще объяснить им, что математика -- дисциплина живая и энергичная, и что некоторым людям интересно в этой жизни еще и открывать что-то новое. Тем более что многие из важнейших задач математики до сих пор ждут своего решения.

в: Вы планируете продолжать исследования на эту тему?

о: Да, планирую - многое еще нужно сделать, чтобы моя новая формула стала удобной в использовании. Было бы замечательно разработать программное обеспечение, позволяющее ученым применять новую формулу всего лишь несколькими "кликами" мышки.


Научный взгляд

Однокаменякин vs Эйнштейн

Письма с опровержением специальной теории относительности (СТО), разработанной А. Эйнштейном еще в 1905 году, приходят в наш отдел науки примерно раз в месяц. Среди опровергателей есть немолодые авиационные инженеры, школьные учителя физики и бывшие сотрудники закрытых институтов. Мы с уважением относимся к этим увлеченным людям, но не можем подробно разбирать их аргументы и отвечать на все письма. Это в институте Капицы был распечатан образец ответа, состоящий из одной фразы "На стр.__в строке__ у Вас содержится ошибка", причем заполнять пропуски поручалось аспирантам - а у нас аспирантов нет и "Неделя" выходит по напряженному еженедельному графику. Но сделать кое-какие выводы из факта обостренного интереса к СТО вполне возможно.

Во-первых, немалое число пишущих раздражает сам автор теории. Вот и художник Глазунов процитировал на своей картине "Мистерия XX века" именно ёрническую фотографию Эйнштейна с высунутым языком - хотя физик фотографировался в самых разных видах, и чаще всего с закрытым ртом. Несомненно, что у СТО было бы гораздо меньше критиков, если бы ее придумал человек с аналогичной фамилией на другом языке. Например, Алексей Однокаменякин. Или Алб Уанстоун. В крайнем случае - Акакиос Монопетрос.

Во-вторых, присутствует совершенно естественная для жителя Среднерусской равнины ненависть к ограничениям и запретам - а СТО неумолимо запрещает двигаться быстрее света, а следствию не разрешает предшествовать причине. Хотя когда это у нас за последнее тысячелетие карательное или любое другое следствие было причинно обусловлено? Сейчас даже погода зависит у нас не от состояния атмосферы, а от милости градоначальника и завоза реагентов.

В-третьих, и это самая простая из претензий к СТО, - теорию просто невозможно себе представить. Каждый знает, что если бежать вниз по эскалатору, то скорости складываются и еще можно успеть в последний поезд метро после часа ночи. Нелепость теории, что к скорости света - да, самого обычного света, из банального фонарика за тридцатку - ничего прибавить невозможно, просто возмущает. Продвинутые опровергатели с удовольствием добавляют, что эту чепуху Эйнштейн даже не сам придумал, а стянул у Лоренца пополам с Пуанкаре (преобразования расстояний и времени действительно впервые ввел Хендрик Лоренц, а обобщил Анри Пуанкаре).

Однако доказано, что если включить фонарик и бежать с ним по эскалатору, то скорость опаздывающего сложится со скоростью эскалатора, а скорость "свет + эскалатор" останется равной скорости света. Впервые это показали Майкельсон и Морли, поэтому именно их опыт и подвергается максимальной критике. Десятки писем, скрежеща зубами и согласными, камня на камне (штейна на штейне) не оставляют от эксперимента. О том, что постулат о неизменности скорости света подтвержден тысячами других опытов, авторы не задумываются. Но пусть они пишут - все-таки это гораздо лучше, чем все время ругать власти или надираться до потери пульса и пенсии.

inauka.ru